[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Blok 2:
ZaleŻnoŚĆ funkcyjna wielkoŚci fizycznych
Odpowiedzi do zestawu do samodzielnego rozwiĄzania:
1.
·
OdległoŚĆ jest wartoŚciĄ bezwzglĘdnĄ
przemieszczenia. Najpierw obliczmy przemieszczenie:
x
0
=
0
·
Punkt startu maszyny znajduje siĘ w
.
Przemieszczenie obliczymy jako pole figury pomiĘdzy
wykresem funkcji a osiĄ czasu, wziĘte z odpowiednim
znakiem. PoniewaŻ w zakresie czasu (0,2 s) figura ta
znajduje siĘ pod osiĄ czasu, naleŻy uwzglĘdniĆ znak
„minus”.
1
m
x
(
t
=
2
s
)
=
x
-
P
P
=
×
2
×
2
s
=
2
m
;
.
0
1
1
2
s
x
(
t
=
2
s
)
=
-
2
m
Czyli
StĄd odległoŚĆ od punktu startu po pierwszych 2 s ruchu jest równa 2m.
·
Aby obliczyĆ całkowitĄ drogĘ, naleŻy narysowaĆ
zaleŻnoŚĆ szybkoŚci od czasu w tym ruchu.
Droga jest sumĄ pól figur pomiĘdzy wykresem a osiĄ
OX.
s
=
P
+
P
=
11
m
1
2
C
Całkowite
przemieszczenie jest sumĄ pól figur pomiĘdzy
wykresem
|
D
r
|
=
|
-
P
+
P
|
=
|
-
2
m
+
9
m
|
=
7
m
·
1
2
v
x
, a osiĄ czasu, przy czym pola leŻĄce
poniŻej osi czasu sĄ brane ze znakiem minus.
(
t
)
·
Przedziałach czasu:
)
D
t
1
:
(
0
2
s
- ruch opóŹniony (bo współrzĘdna prĘdkoŚci jest ujemna, a tangens kĄta
nachylenia wykresu, odpowiadajĄcy współrzĘdnej przyspieszenia - jest dodatni; czyli
prĘdkoŚĆ i przyspieszenie majĄ przeciwne zwroty, zatem ruch opóŹniony); ruch
jednostajnie
opóŹniony, bo zaleŻnoŚĆ
v
x
jest liniowa, a zatem tangens kata
nachylenia stycznej do wykresu jest stały (czyli współrzĘdna przyspieszenia jest stała)
)
(
t
)
D
t
2
:
(
2
s
- ruch przyspieszony (bo współrzĘdna prĘdkoŚci jest dodatnia, a tangens
kĄta nachylenia wykresu, odpowiadajĄcy współrzĘdnej przyspieszenia - jest dodatni; czyli
prĘdkoŚĆ i przyspieszenie majĄ te same zwroty, zatem ruch przyspieszony); widaĆ takŻe,
Że ruch jest
jednostajnie
opóŹniony, bo zaleŻnoŚĆ
v
x
jest liniowa, a zatem tangens
kata nachylenia stycznej do wykresu jest stały (czyli współrzĘdna przyspieszenia jest
stała)
(
t
)
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
1
BLOK 2 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
D
t
3
:
(
6
s
)
ruch jednostajny, bo współrzĘdna prĘdkoŚci siĘ nie zmienia
D
t
4
:
(
6
7
s
)
- ruch opóŹniony (bo współrzĘdna prĘdkoŚci jest dodatnia, a tangens kĄta
nachylenia wykresu, odpowiadajĄcy współrzĘdnej przyspieszenia - jest
ujemny; czyli prĘdkoŚĆ i przyspieszenie majĄ przeciwne zwroty, zatem ruch opóŹniony);
widaĆ takŻe, Że ruch ten jest
jednostajnie
opóŹniony, bo zaleŻnoŚĆ
v
x
jest liniowa, a
zatem tangens kĄta nachylenia stycznej do wykresu jest stały (czyli współrzĘdna
przyspieszenia jest stała)
(
t
)
2.
PoniewaŻ ciało startuje od stanu spoczynku, szybkoŚĆ jest
równa polu figury pod wykresem wartoŚci przyspieszenia
od czasu:
1
m
m
u
=
2
×
3
s
=
3
2
2
s
s
3.
Na wykresie przedstawiono zaleŻnoŚĆ współrzĘdnej
prĘdkoŚci od czasu. PoniewaŻ współrzĘdna prĘdkoŚci jest
w czasie całego ruchu dodatnia, to wykres szybkoŚci od
czasu bĘdzie identyczny.
Droga jest równa polu figury pomiĘdzy wykresem szybkoŚci
od czasu a osiĄ czasu.
m
s
(
t
=
3
s
)
=
4
·
Wykres zaleŻnoŚci współrzĘdnej przyspieszenia
tego ciała od czasu przedstawia rysunek:
4.
Podany wykres przedstawia zaleŻnoŚĆ szybkoŚci
pewnego ciała od czasu, dlatego moŻna z niego
obliczyĆ drogi przebyte przez to ciało podczas dwóch,
wyraŹnie oddzielonych etapów ruchu. Droga to pole
powierzchni figury zawartej pomiĘdzy wykresem
szybkoŚci od czasu a osiĄ czasu.
SzybkoŚĆ Średnia:
D
s
u
Śr
=
D
t
D
s
=
s
+
s
s
=
P
,
s
=
P
t
=
2
min
,
,
1
2
1
1
2
2
1
m
1
m
m
×
40
×
1
min
+
(
40
+
60
)
×
1
min
m
m
2
min
2
min
min
u
=
=
35
»
0
583
Śr
2
min
min
s
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
2
BLOK 2 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
Uwaga ogólna do poniŻszych zadaŃ:
a|
C
itp., majĄcy zwróciĆ uwagĘ na to, Że wielkoŚĆ ta jest
wartoŚciĄ
, a
nie współrzĘdnĄ
wektora. Zapis ten jednak moŻe raziĆ lub wrĘcz staĆ siĘ nieczytelny.
Dlatego moŻna w nim pominĄĆ moduł i wektor (np. zamiast
|,
|
v
|
W wielu równaniach pojawia siĘ zapis:
|
C
napisaĆ a), ale tylko wówczas, gdy
mamy pewnoŚĆ, Że pamiĘtamy, iŻ w tym miejscu naleŻy podczas wykonywania obliczeŃ wstawiĆ
wartoŚĆ wektora.
|
C
m
s
=
12
m
,
t
=
4
s
,
u
=
0
,
|
a
|
=
const
5.
Dane:
1
1
0
s
m
u
=
9
k
s
t
k
=
?
Szukane:
Analiza: ruch jednostajnie przyspieszony. NaleŻy skorzystaĆ ze wzorów, które opisujĄ ten
ruch:
C
2
1
C
s
(
t
)
=
s
+
u
×
t
+
|
a
|
t
u
(
t
)
=
u
+
|
a
|
×
t
,
0
0
0
2
C
u
k
u
=
u
+
|
a
|
×
t
⇒
t
=
RozwiĄzanie:
C
k
o
k
k
|
a
|
|
C
, ale mamy teŻ inne dane, z
|
JedynĄ nieznanĄ wielkoŚciĄ po prawej stronie równania jest
których moŻemy skorzystaĆ:
C
2
×
s
C
2
×
s
2
×
12
m
m
1
1
1
1
1
s
(
t
)
=
|
a
|
t
⇒
t
=
⇒
|
a
|
=
=
=
1
C
1
2
2
1
2
2
|
a
|
t
16
s
s
Zatem:
m
9
u
s
k
t
=
=
=
6
s
C
k
m
|
a
|
1
2
s
OdpowiedŹ: Sanki osiĄgajĄ szybkoŚĆ 9 m/s po szeŚciu sekundach ruchu.
C
2
|
a
|
=
4
m
/
s
t
k
=
5
s
6.
Dane:
,
.
u
Śr
=
?
Szukane:
Analiza: Ruch jednostajnie przyspieszony, szybkoŚĆ poczĄtkowa
m
u
=
0
. NaleŻy skorzystaĆ
0
s
C
2
1
s
(
t
)
=
|
a
|
t
ze wzoru na drogĘ w tym ruchu:
.
2
RozwiĄzanie:
C
2
k
1
|
a
|
t
s
(
t
)
1
C
1
m
m
k
2
u
=
=
=
|
a
|
t
=
×
4
×
5
s
=
10
Śr
k
2
t
t
2
2
s
s
k
k
OdpowiedŹ: SzybkoŚĆ Średnia w czasie pierwszych 5 sekund ruchu wyniosła 10 m/s.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
3
BLOK 2 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
x
=
0
7.
Po upływie 1 h, w punkcie o współrzĘdnej
znajdzie siĘ auto, którego ruch opisywany jest prostĄ
I, czyli samochód ciĘŻarowy(patrz rysunek obok).
Samochód ten startuje (
t
=
0
) w punkcie A,
znajdujĄcym siĘ w punkcie o współrzĘdnej
km
x
A
=
-
100
.
Zatem prosta II opisuje ruch samochodu osobowego,
który startuje z punktu B znajdujĄcego siĘ w punkcie
o współrzĘdnej
0
x
B
=
150
km
.
OdległoŚĆ pomiĘdzy miastami A i B jest równa:
km
0
d
=
|
x
-
x
|
=
|
150
km
-
(
-
100
km
)
|
=
250
0
B
0
A
·
WspółrzĘdnĄ połoŻenia samochodu ciĘŻarowego opisuje równanie:
C
100
km
km
C
x
(
t
)
=
x
+
|
v
|
×
t
a
, gdzie
|
v
|
=
tg
a
=
=
100
(
- jest kĄtem nachylenia
A
0
A
A
A
1
1
1
h
h
prostej I do osi czasu)
·
WspółrzĘdnĄ połoŻenia samochodu osobowego opisuje równanie:
C
100
km
km
C
x
(
t
)
=
x
-
|
v
|
×
t
|
v
|
=
|
tg
a
|
=
-
»
66
,
, gdzie
B
0
B
B
B
2
1
h
h
Spotkanie samochodów opisuje układ równaŃ (muszĄ siĘ oba znaleŹĆ w tym samym miejscu,
w tym samym czasie:
C
x
=
x
+
|
v
|
×
t
s
0
A
A
s
C
x
=
x
-
|
v
|
×
t
s
0
B
B
s
km
x
=
-
100
km
+
100
×
t
x
=
50
km
s
s
h
s
⇒
SkĄd:
- współrzĘdna i czas spotkania
km
t
=
1
h
x
=
150
-
66
,
×
t
s
s
s
h
samochodów.
Zatem punkt spotkania znajduje siĘ w odległoŚci
km
L
=
|
x
-
x
|
=
|
50
km
-
(
-
100
km
)
|
=
150
od miasta A.
s
0
A
·
Kinematyczne równania ruchu dla samochodu ciĘŻarowego:
t
C
C
x
(
t
)
=
x
+
|
v
|
×
|
v
|
=
const
i
, czyli:
A
0
A
A
A
km
x
(
t
)
=
-
100
km
+
100
×
t
Kinematyczne równania ruchu dla samochodu osobowego:
t
A
h
C
C
x
(
t
)
=
x
-
|
v
|
×
|
v
|
=
const
i
, czyli:
B
0
B
B
B
km
km
x
(
t
)
=
150
-
66
,
×
t
B
h
h
o
C
|
v
|
=
12
m
/
s
a
=
30
8.
Dane:
0
C
Analiza: W najwyŻszym punkcie toru pionowa składowa prĘdkoŚci jest równa zeru, czyli
prĘdkoŚĆ jest równa tylko poziomej składowej prĘdkoŚci, a ta w rzucie pionowym siĘ nie
zmienia podczas całego ruchu.
v
(
h
)
=
?
Szukane;
max
C
C
1
C
C
o
m
m
m
v
=
v
|
v
|
=
|
v
|
×
sin
a
=
12
×
sin
30
=
12
×
=
6
RozwiĄzanie:
oraz
.
0
x
0
x
0
s
s
s
2
OdpowiedŹ: W najwyŻszym punkcie toru prĘdkoŚĆ ciała jest równoległa do osi OX, zwrócona
zgodnie ze zwrotem osi OX (równoległej do powierzchni Ziemi i zwróconej od miejsca startu
do miejsca lĄdowania) i ma wartoŚĆ równĄ
m
6
.
s
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
4
BLOK 2 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
D
t
=
t
-
t
t
2
=
2
s
t
1
=
1
s
9.
Dane:
, gdzie
,
.
II
2
1
s
(
t
)
=
?
Szukane:
Analiza:
Droga przebyta w ciĄgu drugiej sekundy ruchu jest równa róŻnicy
II
s
-
s
, gdzie
s
2
1
s
to droga przebyta w ciĄgu jednej (pierwszej) sekundy ruchu, a
to droga przebyta w ciĄgu
2
pierwszych (poczĄtkowych) dwóch sekund ruchu.
WaŻne:
Kinematyczne równania ruchu opisujĄ stan ruchu
po
okreŚlonym czasie.
NaleŻy skorzystaĆ z równania na drogĘ w ruchu jednostajnie przyspieszonym, z
przyspieszeniem
C
i szybkoŚciĄ poczĄtkowĄ równĄ
u
0
=
0
:
C
2
1
s
(
t
)
=
|
a
|
t
2
s
(
t
)
=
s
(
t
)
-
s
(
t
)
RozwiĄzanie:
II
2
1
C
2
1
2
2
1
1
m
s
(
t
)
=
|
g
|
×
(
t
-
t
)
=
×
10
×
[(
2
s
)
-
(
s
)
]
=
15
m
II
2
2
2
s
OdpowiedŹ: droga przebyta w ciĄgu drugiej sekundy ruch wynosi 15 m.
o
C
C
a
=
60
z
=
z
|
v
|
=
|
v
|
10. Dane:
,
,
1
1
2
01
02
a
=
?
Szukane:
Analiza: Rzut ukoŚny. Interesuje nas tylko pozioma składowa prĘdkoŚci i przemieszczenie w
poziomie. Rzut ukoŚny moŻna rozpatrywaĆ jako złoŻenie dwóch, odbywajĄcych siĘ
równoczeŚnie ruchów: jednostajnego wzdłuŻ osi poziomej (osi OX) i jednostajnie zmiennego
wzdłuŻ osi pionowej (osi OY). Ruch w poziomie jest ruchem jednostajnym, z prĘdkoŚciĄ o
wartoŚci:
2
0
CC
. ZasiĘg jest równy wartoŚci poziomej składowej przemieszczenia.
( w tym przypadku: jest takŻe równy drodze przebytej przez ciało wzdłuŻ osi poziomej).
Ale czas musimy obliczyĆ z równania na pionowĄ składowĄ prĘdkoŚci osiĄgniĘtĄ w punkcie
maksymalnym toru:
|
v
|
=
|
v
|
×
cos
a
x
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
v
(
t
)
=
v
+
g
×
t
⇒
|
v
(
t
)
|
=
|
v
|
-
|
g
|
×
t
|
v
|
=
|
v
|
×
sin
a
v
y
(
t
)
=
0
, przy czym
,
y
0
y
y
0
y
0
y
0
­
­
­
­
­
t
k
=
2
×
t
oraz
(nie ma mowy o oporach ruchu).
­
C
|
v
|
×
sin
a
0
t
=
C
­
|
g
|
C
C
C
C
z
=
||
v
|
×
t
|
=
|
v
|
×
cos
a
×
t
z
=
||
v
|
×
t
|
=
|
v
|
×
cos
a
×
t
RozwiĄzanie:
i
1
0
x
k
0
1
k
2
0
x
k
2
0
2
k
2
C
|
v
|
×
sin
a
0
1
t
=
2
×
t
t
=
oraz
i
C
k
­
1
­
1
|
g
|
C
C
2
2
|
v
|
×
cos
a
×
sin
a
|
v
|
×
sin(
2
a
)
0
1
1
0
1
z
=
=
StĄd:
C
C
1
|
g
|
|
g
|
C
C
2
2
|
v
|
×
cos
a
×
sin
a
|
v
|
×
sin(
2
a
)
0
2
2
0
2
z
=
=
C
C
2
|
g
|
|
g
|
o
o
3
o
o
z
=
z
⇒
sin(
2
a
)
=
sin(
2
a
)
=
sin(
2
×
60
)
=
sin
120
=
⇒
2
×
a
=
60
⇒
a
=
30
1
2
1
2
2
2
2
OdpowiedŹ: NaleŻy rzuciĆ kamieŃ pod kĄtem 30
o
.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
5
BLOK 2 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
[ Pobierz całość w formacie PDF ]