[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RACHUNEK BŁ
Ħ
DÓW
1.
WST
Ħ
P
Fizyka bada obiektywne wła
Ļ
ciwo
Ļ
ci otaczaj
Ģ
cego nas
Ļ
wiata materialnego.
Uogólnianie danych do
Ļ
wiadczalnych pozwala na formułowanie praw fizycznych, które
wyra
Ň
aj
Ģ
obiektywny zwi
Ģ
zek mi
ħ
dzy zjawiskami, oraz okre
Ļ
laj
Ģ
rzeczywi
Ļ
cie istniej
Ģ
ce
zale
Ň
no
Ļ
ci mi
ħ
dzy wielko
Ļ
ciami fizycznymi. Tre
Ļę
praw fizycznych wyra
Ň
a si
ħ
na ogół w
formie matematycznej jako funkcj
ħ
okre
Ļ
lon
Ģ
na warto
Ļ
ciach liczbowych x
1
, x
2
, . . . danych
wielko
Ļ
ci fizycznych X
1
, X
2
, . . ..Wida
ę
st
Ģ
d jasno,
Ň
e bardzo wa
Ň
n
Ģ
spraw
Ģ
dla ustalenia
praw fizycznych jest pomiar tych wielko
Ļ
ci.
Mierz
Ģ
c jak
ĢĻ
wielko
Ļę
fizyczn
Ģ
porównujemy j
Ģ
w okre
Ļ
lony sposób z inn
Ģ
wielko
Ļ
ci
Ģ
tego samego rodzaju przyj
ħ
t
Ģ
za jednostk
ħ
. Na przykład pomiar długo
Ļ
ci jakiego
Ļ
ciała przeprowadzamy przykładaj
Ģ
c do
ı
kolejno inne ciało, którego długo
Ļę
obrali
Ļ
my za
jednostk
ħ
.
Z wykonywaniem pomiarów spotykamy si
ħ
bardzo cz
ħ
sto w
Ň
yciu codziennym;
np. kupuj
Ģ
c jaki
Ļ
towar wymagaj
Ģ
cy wa
Ň
enia, mierz
Ģ
c temperatur
ħ
ludzkiego ciała lub
odczytuj
Ģ
c czas na tarczy zegarka. Pomiary te nigdy nie s
Ģ
dokładne. Spowodowane jest to
niedoskonało
Ļ
ci
Ģ
naszych zmysłów lub niedoskonało
Ļ
ci
Ģ
u
Ň
ytych przyrz
Ģ
dów pomiarowych.
W przykładach podanych powy
Ň
ej łatwo domy
Ļ
limy si
ħ
,
Ň
e wystarczaj
Ģ
c
Ģ
dokładno
Ļ
ci
Ģ
b
ħ
dzie 1 g przy wa
Ň
eniu, 0,1°C przy pomiarze temperatury czy 1 s w przypadku odczytu
czasu na zegarku. Przy pomiarze wielko
Ļ
ci fizycznych w laboratorium nie wystarcza nam
intuicyjna ocena niedokładno
Ļ
ci. Warto
Ļę
tych bł
ħ
dów mo
Ň
e mie
ę
zasadnicze znaczenie dla
oceny prawdziwo
Ļ
ci jakiego
Ļ
prawa fizycznego. Wynikiem jakiegokolwiek pomiaru nie
b
ħ
dzie wi
ħ
c sama warto
Ļę
mierzonej wielko
Ļ
ci ale równie
Ň
warto
Ļę
bł
ħ
du popełnianego
podczas pomiarów.
Poznanie warto
Ļ
ci wielko
Ļ
ci fizycznej mo
Ň
e odbywa
ę
si
ħ
na drodze pomiaru
bezpo
Ļ
redniego lub po
Ļ
redniego. W pomiarach bezpo
Ļ
rednich dysponujemy przyrz
Ģ
dem
mierz
Ģ
cym interesuj
Ģ
c
Ģ
nas wielko
Ļę
. W pomiarach po
Ļ
rednich badana wielko
Ļę
jest funkcj
Ģ
wielu zmiennych mierzonych bezpo
Ļ
rednio:
F
=
f
(
x
1
,
x
2
,
2
,
x
n
)
(1.1)
Je
Ň
eli znamy t
ħ
funkcj
ħ
, wówczas mierz
Ģ
c bezpo
Ļ
rednio x
1
, x
2
, ... , x
n ,
mo
Ň
emy po
wykonaniu odpowiednich działa
ı
matematycznych wyliczy
ę
F. W tym przypadku jednak o
ile sam pomiar i obliczenie tej wielko
Ļ
ci nie sprawia nam specjalnych kłopotów, to ocena
bł
ħ
du popełnionego przy takim pomiarze wymaga zastosowania odpowiednich metod
obliczeniowych.
2. ANALIZA BŁ
Ħ
DÓW
2.1. Bł
Ģ
d bezwzgl
ħ
dny
Jak wspomnieli
Ļ
my we wst
ħ
pie wykonywane przez nas pomiary s
Ģ
obarczone bł
ħ
dami
wynikaj
Ģ
cymi z niedoskonało
Ļ
ci przyrz
Ģ
dów pomiarowych i naszych zmysłów, czyli ka
Ň
dy
pomiar mo
Ň
e by
ę
wykonany tylko z pewn
Ģ
dokładno
Ļ
ci
Ģ
.
Otrzymane przez nas wyniki pomiarów nie daj
Ģ
nam prawdziwych warto
Ļ
ci mierzonej
wielko
Ļ
ci lecz tylko przybli
Ň
on
Ģ
. Te przybli
Ň
one warto
Ļ
ci ró
Ň
ni
Ģ
si
ħ
od rzeczywistych o
pewn
Ģ
wielko
Ļę
, któr
Ģ
nazywamy bł
ħ
dem bezwzgl
ħ
dnym i oznaczamy liter
Ģ
D;
D
x
=
X
−
A
(2.1)
X
- rzeczywista warto
Ļę
mierzonej wielko
Ļ
ci
A
- warto
Ļę
przybli
Ň
ona otrzymana z pomiaru
Tak wi
ħ
c bł
ħ
dem bezwzgl
ħ
dnym D
x
jakiego
Ļ
pomiaru nazywamy ró
Ň
nic
ħ
mi
ħ
dzy
rzeczywist
Ģ
warto
Ļ
ci
Ģ
mierzonej wielko
Ļ
ci, a warto
Ļ
ci
Ģ
przybli
Ň
on
Ģ
otrzyman
Ģ
na drodze
pomiarowej.
Równanie (2.1) pozwala nam na zdefiniowanie bł
ħ
du bezwzgl
ħ
dnego nie jest jednak
przydatne w praktyce. Celem zadania pomiarowego jest jak najdokładniejsze poznanie
warto
Ļ
ci rzeczywistej X. Równanie po przekształceniu ma posta
ę
:
X = A + Dx
(2.2)
Poniewa
Ň
wynik pomiaru na skutek wyst
Ģ
pienia niedokładno
Ļ
ci pomiarowych mo
Ň
e
by
ę
zawy
Ň
ony albo zani
Ň
ony, wprowadzamy symbol „±”. Równanie (1.3) zapisujemy:
X = A
±
D
x
(2.3)
Warto
Ļę
bł
ħ
du bezwzgl
ħ
dnego Dx b
ħ
dziemy okre
Ļ
la
ę
ró
Ň
nymi metodami. W
pomiarach bezpo
Ļ
rednich przyjmujemy za obowi
Ģ
zuj
Ģ
ce dane podane przez producenta
przyrz
Ģ
du pomiarowego. Kiedy nie mamy do nich dost
ħ
pu musimy przyj
Ģę
jednostk
ħ
najmniejszego rz
ħ
du wskazywanego przez przyrz
Ģ
d, a w wypadku przyrz
Ģ
dów ze
wska
Ņ
nikami wychyłowymi, dwukrotn
Ģ
warto
Ļę
podziałki.
Oprócz przyrz
Ģ
du, na warto
Ļę
bł
ħ
du bezwzgl
ħ
dnego wielko
Ļ
ci mierzonej
bezpo
Ļ
rednio wpływa te
Ň
metoda pomiaru. Najprostszym przykładem takiego wpływu jest
pomiar linijk
Ģ
. Odczyty z linijki mo
Ň
emy wykonywa
ę
z dokładno
Ļ
ci
Ģ
do 1 mm. Mogliby
Ļ
my
wi
ħ
c przyj
Ģę
warto
Ļę
bł
ħ
du mierzonej wielko
Ļ
ci
l
jako D
l
= 1 mm. Jednak gdy
przeanalizujemy metod
ħ
pomiaru linijk
Ģ
, mo
Ň
emy dostrzec,
Ň
e za ka
Ň
dym razem odczytujemy
podziałk
ħ
dwukrotnie: ustawiaj
Ģ
c linijk
ħ
tak, aby zerowa podziałka pokrywała si
ħ
z
pocz
Ģ
tkiem mierzonego odcinka oraz odczytuj
Ģ
c warto
Ļę
długo
Ļ
ci odcinka. Dlatego, wi
ħ
c
przyjmujemy D
l
= 2 mm. Problem ten nie wyst
ħ
puje przy pomiarach suwmiark
Ģ
– pozycja
zerowa ustawiona jest fabrycznie i pomiar np.
Ļ
rednicy wymaga pojedynczego odczytu z
noniusza.
Bł
Ģ
d bezwzgl
ħ
dny jest wielko
Ļ
ci
Ģ
mianowan
Ģ
. Musimy pami
ħ
ta
ę
zawsze o tym, by
był on podawany w jednostkach takich samych jak wielko
Ļę
mierzona. Je
Ň
eli np. długo
Ļę
podajemy w metrach to warto
Ļę
bł
ħ
du podajemy równie
Ň
w metrach a nie w milimetrach.
Podczas oblicze
ı
stosujemy równie
Ň
inne ni
Ň
wielko
Ļ
ci przybli
Ň
one. Nale
ŇĢ
do nich:
- stałe matematyczne : p, e, warto
Ļ
ci logarytmów, funkcje trygonometryczne
- stałe fizyczne : stała Plancka, pr
ħ
dko
Ļę
Ļ
wiatła w pró
Ň
ni itp.,
których bł
Ģ
d bezwzgl
ħ
dny mo
Ň
emy przyj
Ģę
dowolnie małym i dlatego te wielko
Ļ
ci uwa
Ň
amy
za nie obarczone bł
ħ
dami.
Metody pozwalaj
Ģ
ce na obliczenie bł
ħ
du bezwzgl
ħ
dnego wielko
Ļ
ci mierzonych
po
Ļ
rednio omówiono w dalszej cz
ħĻ
ci tekstu.
2.2. Bł
Ģ
d wzgl
ħ
dny
W praktyce do
Ļ
wiadczalnej chodzi nam cz
ħ
sto o to, w jakim stopniu bł
Ģ
d popełniany
przy pomiarze mo
Ň
e wpłyn
Ģę
na wynik pomiaru. Bł
Ģ
d bezwzgl
ħ
dny nie daje nam odpowiedzi
na to pytanie. Np. je
Ň
eli bł
Ģ
d bezwzgl
ħ
dny przy pomiarze jakiej
Ļ
odległo
Ļ
ci jest równy
0,01 m, a odległo
Ļę
jest rz
ħ
du kilkuset metrów to warto
Ļę
tego bł
ħ
du odgrywa bardzo mał
Ģ
rol
ħ
, ale je
Ň
eli taki sam bł
Ģ
d popełnimy przy pomiarze wymiarów pudełka zapałek to rola tego
bł
ħ
du jest bardzo istotna w tych pomiarach. Aby mo
Ň
na było okre
Ļ
li
ę
wpływ wielko
Ļ
ci bł
ħ
du
bezwzgl
ħ
dnego na wykonany pomiar stosujemy tak zwany bł
Ģ
d wzgl
ħ
dny, który oznaczamy
liter
Ģ
d i definiujemy nast
ħ
puj
Ģ
co:
Bł
Ģ
d wzgl
ħ
dny danej wielko
Ļ
ci jest to stosunek bł
ħ
du bezwzgl
ħ
dnego do rzeczywistej
warto
Ļ
ci mierzonej wielko
Ļ
ci, czyli:
d
=
D
x
(2.4)
x
Poniewa
Ň
zarówno Dx jak i x s
Ģ
wielko
Ļ
ciami tak samo mianowanymi, bł
Ģ
d wzgl
ħ
dny
jest wielko
Ļ
ci
Ģ
niemianowan
Ģ
. Bardzo cz
ħ
sto bł
Ģ
d wzgl
ħ
dny podajemy jednak nie w postaci
ułamka, lecz wyra
Ň
amy w procentach czyli zapisujemy nast
ħ
puj
Ģ
co:
d
=
D
x
×
100
%
(2.5)
x
x
W zale
Ň
no
Ļ
ci od typu pomiarów, metody pomiarowej, klasy laboratorium, warto
Ļ
ci
bł
ħ
du wzgl
ħ
dnego mog
Ģ
przyjmowa
ę
ró
Ň
ne warto
Ļ
ci. Metody pomiarowe stosowane w
Pracowni Fizyki dobierane s
Ģ
ze wzgl
ħ
du na ich dydaktyczny charakter. Priorytetem nie jest
dokładno
Ļę
uzyskanych wyników. Dlatego te
Ň
warto
Ļ
ci bł
ħ
dów wzgl
ħ
dnych uzyskanych w
trakcie
ę
wicze
ı
b
ħ
d
Ģ
stosunkowo du
Ň
e. Nie powinny jednak przekracza
ę
poziomu 10%.
2.3. Przyczyny powstawania bł
ħ
dów pomiarowych
Ze wzgl
ħ
du na przyczyny powstawania bł
ħ
dów pomiarowych dzielimy je na trzy grupy:
1. Bł
ħ
dy systematyczne
2. Bł
ħ
dy grube
3. Bł
ħ
dy losowe
Do bł
ħ
dów systematycznych zaliczamy bł
ħ
dy, które s
Ģ
wynikiem niedokładno
Ļ
ci przyrz
Ģ
dów,
złej metody pomiarowej, wpływu czynników zewn
ħ
trznych itp. np.
Ņ
le wykonana miarka w
której odległo
Ļ
ci mi
ħ
dzy działkami s
Ģ
za du
Ň
e lub za małe w stosunku do wzorca; ustawienie
wagi w pobli
Ň
u
Ņ
ródła ciepła co mo
Ň
e powodowa
ę
niejednakow
Ģ
rozszerzalno
Ļę
ramion wagi
czy tak zwany bł
Ģ
d paralaksy.
Charakterystyczne dla bł
ħ
dów systematycznych jest to,
Ň
e wprowadzaj
Ģ
c tzw. poprawk
ħ
mo
Ň
emy zniwelowa
ę
ich wpływ na wyniki pomiarów. Warunkiem jest znajomo
Ļę
warto
Ļ
ci
oraz znaku bł
ħ
du systematycznego.
Je
Ň
eli np. po wykonaniu pomiarów zauwa
Ň
ymy,
Ň
e wychyłowy wska
Ņ
nik woltomierza
przy napi
ħ
ciu 0 V pokazuje 0,1 V, mo
Ň
emy wprowadzi
ę
poprawk
ħ
. Skoro wszystkie wyniki
pomiarów były zawy
Ň
one o 0,1 V nale
Ň
y od nich odj
Ģę
t
ħ
warto
Ļę
. Musimy by
ę
oczywi
Ļ
cie
pewni,
Ň
e bł
Ģ
d ten dotyczył naprawd
ħ
wszystkich pomiarów które b
ħ
dziemy korygowali
poprawk
Ģ
.
Bł
ħ
dy grube s
Ģ
to bł
ħ
dy, których wyst
Ģ
pienie powoduje,
Ň
e warto
Ļę
odczytana jest bardzo
ró
Ň
na od rzeczywistej warto
Ļ
ci mierzonej wielko
Ļ
ci. Spowodowane s
Ģ
uszkodzeniem sprz
ħ
tu,
bł
ħ
dami ludzkimi lub niespodziewanymi, silnymi wpływami
Ļ
rodowiska zewn
ħ
trznego. Aby
ustrzec si
ħ
bł
ħ
dów grubych, nale
Ň
y posługiwa
ę
si
ħ
sprawdzonymi urz
Ģ
dzeniami. Pomiary
nale
Ň
y powtarza
ę
kilkukrotnie a je
Ļ
li to mo
Ň
liwe, odczyty powinny by
ę
weryfikowane przez
drug
Ģ
osob
ħ
. Wynik obarczony bł
ħ
dem grubym nie nadaje si
ħ
do dalszej analizy. Pomiary
nale
Ň
y powtórzy
ę
po wyeliminowaniu przyczyny bł
ħ
du.
Bł
ħ
dy losowe, spowodowane s
Ģ
wieloma ró
Ň
nymi przyczynami, na ogół nieznanymi i
niemo
Ň
liwymi do unikni
ħ
cia. Nieokre
Ļ
lone wpływy otoczenia, zakłócenia pracy układów
elektronicznych urz
Ģ
dze
ı
pomiarowych itp. powoduj
Ģ
,
Ň
e wielokrotny pomiar tej samej
wielko
Ļ
ci w tych samych warunkach daje ró
Ň
ne wyniki nieznacznie ró
Ň
ni
Ģ
ce si
ħ
od siebie.
Statystyczny charakter rozkładu tych warto
Ļ
ci, pozwala na stosowanie metod
matematycznych pozwalaj
Ģ
cych na zminimalizowanie wpływu tego bł
ħ
du na wynik pomiaru.
3. ROZKŁAD NORMALNY BŁ
Ħ
DÓW LOSOWYCH
Z analizy bł
ħ
dów losowych wynika,
Ň
e ich wyst
ħ
powanie nie jest zjawiskiem
chaotycznym lecz podlega okre
Ļ
lonym prawidłowo
Ļ
ciom. Wykonuj
Ģ
c kilkakrotnie pomiar tej
samej wielko
Ļ
ci fizycznej X otrzymujemy za ka
Ň
dym razem ró
Ň
ne warto
Ļ
ci A
1
, A
2
, . . itd.
Ró
Ň
nice mi
ħ
dzy rzeczywist
Ģ
warto
Ļ
ci
Ģ
mierzonej wielko
Ļ
ci X a otrzymanymi przez nas
warto
Ļ
ciami na drodze pomiarowej nazywamy według podanej wcze
Ļ
niej definicji bł
ħ
dami
bezwzgl
ħ
dnymi i oznaczamy je Dx
1
, Dx
2
, . . . itd.
Przedstawiaj
Ģ
c te bł
ħ
dy na wykresie w układzie współrz
ħ
dnych, w którym na osi
odci
ħ
tych odło
Ň
ymy warto
Ļ
ci bł
ħ
dów, a na osi rz
ħ
dnych cz
ħ
sto
Ļ
ci ich wyst
ħ
powania,
otrzymamy krzyw
Ģ
nazywan
Ģ
krzyw
Ģ
bł
ħ
dów lub krzyw
Ģ
Gaussa przedstawiaj
Ģ
c
Ģ
tzw.
rozkład normalny
Posta
ę
analityczna funkcji opisuj
Ģ
cej ten rozkład przedstawia si
ħ
nast
ħ
puj
Ģ
co
y
(
D
x
)
=
k
e
−
k
2
(
D
x
)
2
(3.1)
p
gdzie k jest współczynnikiem okre
Ļ
laj
Ģ
cym dokładno
Ļę
pomiarów.
Prawdopodobie
ı
stwo,
Ň
e podczas pomiarów wyst
ħ
puj
Ģ
bł
ħ
dy z przedziału (Dx
1
, Dx
2
) jest
równe :
D
x
2
[
]
P
D
x
Î
(
D
x
,
D
x
)
=
Ð
y
(
D
x
)
d
(
D
x
)
(3.2)
1
2
D
x
1
Tak zdefiniowane warto
Ļ
ci bł
ħ
dów s
Ģ
wielko
Ļ
ciami dokładnymi ale nieznanymi,
poniewa
Ň
nie znamy rzeczywistej warto
Ļ
ci mierzonej wielko
Ļ
ci X. Analiza krzywej Gaussa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]