[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Blok 6:
Pęd. Zasada zachowania pędu.
Praca. Moc
I.
P
ę
d ciała i p
ę
d układu ciał
.
JeŜeli rozwaŜamy pęd pojedynczego ciała, to w powyŜszym wzorze
m
jest masą tego ciała, a
v
d
- jego prędkością chwilową.
Pęd jest wielkością wektorową, opisaną równaniem:
p
d
=
m
×
v
Pęd jest wielkością addytywną, oznacza to, Ŝe pęd układu
n
ciał moŜna takŜe zapisać jako sumę
pędów poszczególnych ciał:
p
=
(
m
+
m
+
...
+
m
)
×
v
ukl
1
2
n
SM
p
d
=
p
+
p
+
...
+
p
=
m
v
+
m
v
+
...
+
m
v
ukl
1
2
n
1
1
2
2
n
n
II.
II zasada dynamiki w formie uogólnionej
, (jak kaŜda wielkość fizyczna oznaczająca zmianę wielkości wektorowej),
określona jest jako wektorowa róŜnica pomiędzy pędem końcowym, a pędem początkowym:
Zmiana p
ę
du
p
d
D
D
p
=
p
k
p
-
d
.
p
Przyczyną zmiany pędu jest działająca wypadkowa siła zewnętrzna:, co oznacza, Ŝe dla stałej
siły wypadkowej:
D
d
, a dla siły wypadkowej zmiennej w czasie:
=
F
×
D
t
wyp
D
p
=
∫ ∫
d
p
=
F
d
(
t
)
×
dt
wyp
Zmianę pędu
p
d
D
tę moŜemy podzielić przez przyrost czasu,
t
D
, otrzymując:
d
D
p
d
p
-
p
k
p
F
=
=
. J
wyp
D
t
D
t
t
®
0
t
®
0
JeŜeli załoŜymy, Ŝe masa układu nie zmienia się w czasie, to wyraŜenie to moŜemy rozpisać
bardziej szczegółowo:
d
D
p
p
d
-
p
m
d
-
m
d
D
v
d
k
p
k
p
F
=
=
=
=
m
=
m
×
a
,
wyp
D
t
D
t
D
D
t
t
®
0
t
®
0
t
®
0
t
®
0
a to wyraŜenie jest juŜ nam znane od dawna: jest to II zasada dynamiki Newtona.
Zasada ta jest spełniona dla ciał i układów, których masa nie zmienia się.
Uogólniona postać II zasady dynamiki obowiązuje takŜe dla ciał i układów, w których masa
poszczególnych elementów układu zmienia się w czasie, dlatego nazwana została mianem
uogólnionej:
∫ ∫
p
=
d
p
=
F
d
(
t
)
×
dt
wyp
Zasada ta obowiązuje zarówno w przypadku pojedynczych ciał, jak i układów ciał.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
38
d
d
d
Dla
p
ę
du układu ciał
, masa
m
występująca w powyŜszym wzorze jest masą całego układu,
a
v
d
- jest prędkością środka masy całego układu
n
ciał:
d
d
d
d
d
d
d
d
p
d
d
d
d
d
d
d
d
t
D
d
d
III. Zasada zachowania p
ę
du
Z II zasady dynamiki Newtona w formie uogólnionej moŜemy wyprowadzić
zasad
ę
zachowania p
ę
du
.
Zasada zachowania p
ę
du dla pojedynczego ciała:
Pęd pojedynczego ciała nie zmienia się (pozostaje stały) wtedy i tylko wtedy, gdy wypadkowa
siła działająca na ciało jest równa zeru:
D
p
=
0
Û
F
=
0
wyp
Zasada zachowania p
ę
du dla pojedynczego ciała:
Pęd układu ciał nie zmienia się (pozostaje stały) wtedy i tylko wtedy, gdy wypadkowa sił
zewnętrznych działających na układ ciał jest równa zeru:
D
p
=
0
Û
F
=
0
.
ukl
wyp
zewn
Pęd układu nie zmienia się, nawet, jeŜeli ciała naleŜące do tego układu oddziałują ze sobą
siłami wewnętrznymi, (będącymi w tym układzie siłami akcji-reakcji)
Pęd układu ciał moŜe być zachowany, a mimo to pędy poszczególnych ciał z tego układu
mogą się zmieniać.
Zasada zachowania pędu jest zasadą dotyczącą wielkości wektorowych. Zasada ta rozpisana
na współrzędnych przyjmuje postać trzech równać algebraicznych:
0
D
p
x
=
0
Û
F
x
=
,
D
p
y
=
0
Û
F
y
=
0
,
D
p
z
=
0
Û
F
z
=
0
gdzie:
·
w przypadku rozpatrywania pojedynczego ciała, wielkości
F
x
,
F
y
,
F
z
są
współrzędnymi wypadkowej siły działającej na ciało
·
w przypadku rozpatrywania układu ciał, wielkości
F
x
,
F
y
,
F
z
są współrzędnymi
wypadkowej siły zewnętrznej działającej na cały układ ciał
W zadaniach mamy czasami do czynienia ze szczególnymi zagadnieniami, dotyczącymi
układu ciał, których sumaryczny pęd jest równy zeru zarówno w sytuacji wyjściowej (początkowej),
jak i końcowej (np. są to zadania, w których wszystkie ciała układu spoczywają na początku i na
końcu zadania). JeŜeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na ten układ jest równa zeru, to
moŜemy skorzystać wówczas z zasady zachowania pędu, a właściwie ze szczególnego
spostrzeŜenia. W takich zadaniach bowiem:
D
d
, ale takŜe
=
0
d
i
ukl
=
0
p
k
d
, z czego
ukl
=
0
d
, czyli, Ŝe moŜna
skorzystać z faktu, iŜ w takim przypadku środek masy układu nie zmienia swojego połoŜenia.
d
i
=
0
d
, a to z kolei prowadzi do konkluzji, Ŝe
SM
=
0
D
x
SM
=
0
Ś
rodek masy
układu ciał
nie zmienia poło
Ŝ
enia
wtedy i tylko wtedy, gdy pęd układu jest
zachowany oraz jednocześnie
pęd początkowy układu
i
pęd końcowy układu są równe zeru
.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
39
d
d
d
d
p
ukl
p
p
v
p
v
k
wynika, Ŝe
SM
►
Przykład 6.1:
Na jeziorze znajduje się łódka o masie M i
długości L, a w niej człowiek o masie m. Dziób łódki jest
zwrócony w stronę jednego brzegu, prostopadle do linii
brzegowej. W pewnej chwili człowiek stojący na rufie postanawia
przejść na dziób łódki. Oblicz zmianę połoŜenia łódki względem
wspomnianego brzegu jeziora.
Pęd układu ciał (łódka - człowiek) na początku i na końcu
jest równy zeru, zatem moŜemy skorzystać ze spostrzeŜenia, Ŝe
w trakcie przemieszczania się człowieka z rufy na dziób łodzi,
środek masy całego układu musi pozostać w tym samym miejscu względem zewnętrznego,
inercjalnego układu odniesienia, związanego z linią brzegową:
x
SM
k
=
x
SM
p
.
Skorzystajmy z definicji środka masy układu:
x
=
x
1
M
+
x
2
m
, a
x
=
x
'
1
M
+
x
'
2
m
,
SM
p
M
+
m
SM
k
M
+
m
x
to początkowa i końcowa współrzędna połoŜenia środka masy samej łódki w
wybranym układzie współrzędnych, pokazanym na rysunku, a
1
'
,
x
1
x
to początkowa i końcowa
współrzędna połoŜenia człowieka w tym samym układzie współrzędnych.
2
'
,
x
2
Zatem:
x
1
M
+
x
2
m
=
x
1
M
+
x
'
2
m
⇒
x
M
+
x
m
=
x
'
M
+
x
'
m
1
2
1
2
M
+
m
M
+
m
⇒
.
Szukamy przesunięcia łódki względem brzegu:
M
(
x
1
-
x
1
)
=
m
(
x
2
-
x
'
2
)
D
x
1
=
(
x
'
1
-
x
1
)
. Jest ono równe:
D
x
=
(
x
'
-
x
)
=
m
(
x
-
x
'
)
, ale
(
x
-
x
'
)
=
-
D
x
=
-
(
-
L
+
D
x
)
(bo człowiek przeszedł na
1
1
1
M
2
2
2
2
2
1
rufę, w lewo, na odległość L, ale jednocześnie łódka przesunęła się w prawo na odległość
D
x
1
,
unosząc człowieka.
D
x
=
(
x
'
-
x
)
=
m
(
x
-
x
'
)
=
m
[
L
-
D
x
]
⇒
D
x
(
+
m
)
=
m
L
⇒
D
x
=
m
L
1
1
1
M
2
2
M
1
1
M
M
1
m
+
M
IV. Praca
Praca wykonana przez dowolną, (stałą lub zaleŜną od przemieszczenia) siłę
F
d
, podczas
r
d
d
d
r
2
d
d
przesunięcia ciała o
r
d
D
, dana jest wzorem:
W
=
∫
F
r
)
a
d
r
=
∫
F
r
)
×
cos
Ð
(
F
r
)
dr
r
r
1
1
Praca wykonana przez stałą siłę
F
d
, działająca na ciało przemieszczające się pod jej wpływem o
r
d
D
, jest równa:
W
=
F
a
D
r
=
F
×
D
r
×
cos
Ð
(
F
D
d
r
)
Praca sił oporu
(w tym takŜe sił tarcia) jest zawsze ujemna, poniewaŜ siły oporu (hamujące ruch)
mają zwrot przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia ciała w czasie ruchu, a co za tym idzie,
1
Ð
(
F
,
D
r
)
=
-
op
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
40
gdzie
'
'
2
d
d
d
cos
d
d
V.
Moc
Moc
ś
rednia
ciała jest równa ilorazowi pracy wykonanej przez to ciało i czasu, w którym ta praca
została wykonana:
P
sr
=
W
, gdzie praca
W
jest całkowitą pracą, która została wykonana w czasie
t
D
.
D
t
JeŜeli praca wykonywana przez ciało została spoŜytkowana na zmianę ruchu jakiegoś innego
ciała, które pod wpływem tej pracy poruszało się ze średnią prędkością
v
d
, to moc ciała
pierwszego moŜna obliczyć takŜe, znając średnią siłę, z jaką ono działało na drugie ciało:
)
sr
Moc chwilowa
ciała jest równa ilorazowi pracy wykonanej przez to ciało i czasu, w którym ta
praca została wykonana, przy załoŜeniu, Ŝe czas ten zmierza do zera (jest bardzo krótki):
=
F
a
v
=
F
×
v
×
cos
Ð
(
F
,
v
sr
sr
sr
sr
sr
sr
sr
P
=
D
W
.
D
t
D
t
®
0
Moc tę moŜna obliczyć takŜe znając chwilową siłę wykonującą pracę oraz chwilową prędkość
ciała, którego ruch zmienia się pod wpływem tej siły:
P
=
F
a
v
=
F
×
v
×
cos
Ð
(
F
v
)
.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
41
d
d
d
d
P
d
d
d
d
[ Pobierz całość w formacie PDF ]