[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Blok 7:
Zasada zachowania energii mechanicznej.
Zderzenia
Odpowiedzi do zestawu zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania:
1
1.
Energia potencjalna pojedynczej cegły leŻĄcego na stole wynosi
, (gdzie
a
–
jest wysokoŚciĄ klocka), poniewaŻ energiĘ potencjalnĄ ciała znajdujĄcego siĘ w pobliŻu
powierzchni Ziemi obliczamy jako iloczyn wartoŚci przyspieszenie grawitacyjnego,
g
, masy
ciała,
m
oraz wysokoŚci powyŻej poziomu Ziemi, na której znajduje siĘ Środek masy ciała.
Środek masy cegły znajduje siĘ na poziomie połowy wysokoŚci cegły.
PoniewaŻ cegły zarówno w sytuacji poczĄtkowej, jak i w sytuacji koŃcowej spoczywajĄ, to
praca wykonana na ułoŻenie kolumny cegieł jest równa przyrostowi energii potencjalnej cegieł
w polu grawitacyjnym Ziemi.
I sposób:
E
=
mga
pot
2
W
=
D
E
=
D
Ep
+
D
Ep
+
D
Ep
+
D
Ep
+
D
Ep
+
D
Ep
+
D
Ep
p
1
2
3
4
5
6
7
D
Ep
1
=
0
, bo cegła pozostaje na powierzchni Ziemi,
mga
D
Ep
=
3
mga
-
1
mga
=
2
2
2
D
Ep
=
D
Ep
=
5
mga
-
1
mga
=
2
mga
3
4
2
2
D
Ep
=
7
mga
-
1
mga
=
3
mga
5
2
2
D
Ep
=
9
mga
-
1
mgx
=
4
mga
6
2
2
D
Ep
=
11
mga
-
1
mga
=
5
mga
7
2
2
W =
17
mga
Razem:
II sposób:
W
=
D
E
=
Ep
-
Ep
=
mga
×
(
1
+
3
+
2
×
5
+
7
+
9
+
11
-
7
×
1
)
=
p
ukl
na
koncu
ukl
na
poczatku
2
2
2
2
2
2
2
41
-
7
=
mga
×
(
)
=
17
mga
2
2.
Ciało umieszczone jest na sztywnym i niewaŻkim prĘcie, co czyni pewnĄ subtelnĄ róŻnicĘ w
stosunku do podobnych zadaŃ, wczeŚniej przerabianych na zajĘciach. Aby ciało wykonało
jeden pełen obrót musi byĆ spełniony tylko jeden warunek: naleŻy przekazaĆ mu
wystarczajĄco duŻo energii, aby wzniosło siĘ ono na szczyt pĘtli, po której bĘdzie siĘ
poruszaĆ. Nie musimy juŻ dbaĆ, jak w innych przypadkach (ciało na sznurku lub diabelska
pĘtla), aby spełniony został takŻe warunek
C
C
. W przypadku prĘta, to siły jego
sztywnoŚci zapewniajĄ, Że jeŚli tylko ciało osiĄgnie punkt maksymalny toru, to juŻ na pewno
nie spadnie pionowo w dół.
|
F
|
³
|
F
|
odŚd
c
2
2
mv
mv
D
E
+
D
E
=
0
D
E
=
0
-
=
-
Z zasady zachowania energii:
oraz
, a
k
p
k
2
2
(podczas wznoszenia siĘ ciała energia kinetyczna maleje do zera,
energia potencjalna roŚnie).
StĄd:
D
E
p
=
mgh
-
0
=
mg
×
2
L
v
=
2
gL
JeŻeli ciało uzyska wiĘkszĄ niŻ powyŻsza szybkoŚĆ poczĄtkowĄ, to po osiĄgniĘciu
maksymalnej wysokoŚci jego energia kinetyczna zmaleje do zera. MoŻna by zadaĆ jeszcze
jedno pytanie: czy w takim razie prĘt zatrzyma siĘ w pozycji pionowej w tym najwyŻszym
połoŻeniu? OtóŻ, nie! Minie to połoŻenie zgodnie z zasadĄ bezwładnoŚci (inercji), a gdy juŻ
minie, powrotem zacznie nabieraĆ szybkoŚci, poniewaŻ zacznie poruszaĆ siĘ w dół.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
1
BLOK 7 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
2
2
2
mv
m
(
gt
)
mg
2
E
=
=
=
t
3.
, a wykresem takiej zaleŻnoŚci jest parabola „uŚmiechniĘta”.
k
2
2
2
Odp.
C
4. Zderzenia niesprĘŻyste: obowiĄzuje jedynie zasada zachowania pĘdu (ZZP) dla układu. Nie
obowiĄzuje zasada zachowania energii mechanicznej.
ZZP:
C
C
C
m
v
+
m
v
=
(
m
+
m
)
v
1
1
2
2
1
2
Kulki poruszajĄ siĘ naprzeciw siebie, oŚ OX wybieramy
np. tak jak na rysunku:
OX:
m
v
-
m
v
=
(
m
+
m
)
v
⇒
, gdzie załoŻyliŚmy, Że
po zderzeniu ciała poruszajĄ siĘ zgodnie ze zwrotem osi
OX. JeŚli załoŻenie jest błĘdne, wynik bĘdzie ujemny.
1
1
2
2
1
2
1
kg
×
5
m
-
2
kg
×
10
m
m
v
-
m
v
s
s
v
=
1
1
2
2
v
=
=
-
5
m
, czyli
. WartoŚĆ ta jest ujemna, zatem
s
m
+
m
1
kg
+
2
kg
1
2
prĘdkoŚĆ
C
zwrócona jest przeciwnie do zwrotu osi OX.
IloŚĆ energii cieplnej:
(
m
+
m
)
v
2
2
1
2
2
m
v
m
v
1
2
D
E
k
=
Q
=
-
1
+
2
=
-
75
J
2
2
2
5.
Zderzenia sprĘŻyste: obowiĄzuje zarówno zasada zachowania pĘdu (ZZP) dla układu oraz
zasada zachowania energii mechanicznej (ZZEM).
ZZP:
C
C
C
C
m
v
+
m
v
=
m
v
+
m
v
1
1
2
2
1
3
2
4
2
1
2
2
2
3
2
4
m
v
m
v
m
v
m
v
1
+
2
=
1
+
2
ZZEM:
2
2
2
2
OŚ OX wybieramy np. tak, jak na rysunku:
m
v
+
0
=
m
v
+
m
v
OX:
, moŻemy
bowiem przewidzieĆ, Że po zderzeniu tym
przynajmniej kulka (2) bĘdzie siĘ poruszaĆ
zgodnie ze zwrotem wybranej osi OX.
1
1
1
1
2
4
WaŻne:
Nie jesteŚmy pewni, w którĄ stronĘ bĘdzie poruszaĆ siĘ kulka (1), ale poniewaŻ ze
wszystkich wektorów wystĘpujĄcych z ZZP tylko ten jeden nie jest okreŚlony co do zwrotu, to
moŻemy wstĘpnie załoŻyĆ, Że i on jest zgodny ze zwrotem osi OX. JeŚli załoŻenie jest błĘdne,
wynik bĘdzie ujemny.
2
1
2
3
2
4
m
v
m
v
m
v
1
1
2
+
0
=
+
2
2
2
m
, a po drugiej stronie –
W obu równaniach gromadzimy po jednej stronie wyrazy zawierajĄce
m
wyrazy zawierajĄce
:
2
m
v
-
m
v
=
m
v
1
1
1
3
2
4
2
1
2
3
2
4
m
v
-
m
v
=
m
v
, gdzie dodatkowo to równanie pomnoŻyliŚmy przez 2
OtrzymaliŚmy układ równaŃ: liniowego i kwadratowego. MoŻemy go rozwiĄzaĆ metodĄ
podstawienia (Żmudne) lub zastosowaĆ pewien trik: podzieliĆ równania stronami. Ostatecznie
otrzymujemy:
1
1
2
v
+
v
=
v
1
3
4
m
v
-
m
v
=
m
v
(równanie I)
1
1
1
3
2
4
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
2
BLOK 7 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
2
v
m
v
(
m
-
m
)
1
1
1
1
2
v
=
v
=
oraz
4
3
m
+
m
m
+
m
1
2
1
2
2
×
2
m
×
0
2
kg
2
m
(
0
2
kg
-
0
kg
)
s
s
v
=
=
0
m
v
=
=
-
0
4
cm
Czyli:
i
.
4
3
s
s
0
2
kg
+
0
kg
0
2
kg
+
0
kg
Kula pierwotnie spoczywajĄca, zacznie poruszaĆ siĘ w prawo, a kula pierwotnie poruszajĄca siĘ
w prawo, odbije siĘ i zacznie poruszaĆ siĘ w lewo.
6.
Uwaga:
zmieniono oznaczenia: szybkoŚĆ wyrzucanej kuli wzglĘdem łodzi oznaczono jako
v
C
C
C
D
v
,
v
,
v
, natomiast jako
- prĘdkoŚci łodzi wzglĘdem ziemi w kolejnych sytuacjach, a
1
2
3
CC
- prĘdkoŚci kul wzglĘdem ziemi w kolejnych sytuacjach.
To zadanie ma dwa rozwiĄzania w zaleŻnoŚci od przyjĘtego modelu:
C
v
,
v
,
v
K
K
2
K
3
PrzyjĘto model I:
prĘdkoŚĆ wzglĘdna wyrzucanej kuli wzglĘdem łodzi jest prĘdkoŚciĄ
obliczanĄ tuŻ po wyrzuceniu.
Przypadek I:
mĘŻczyzna rzuca kule po kolei, pomijamy wszelkie opory ruchu.
Podczas wyrzutu pierwszej kuli, druga kula pozostaje wewnĄtrz łodzi.
ZZP:
C
C
0
=
(
m
+
m
+
m
)
v
+
m
(pĘd poczĄtkowy układu jest równy zero), zatem, jeŚli
wybiorĘ oŚ OX o zwrocie zgodnym ze zwrotem prĘdkoŚci łódki po wyrzuceniu pierwszej kuli,
to:
1
2
1
K
(
m
+
m
+
m
)
v
-
mv
=
0
⇒
(
m
+
m
+
m
)
v
=
mv
1
2
1
K
1
2
1
K
v
=
D
v
-
v
⇒
m
D
v
=
v
(
m
+
m
+
2
m
)
Ale z wzglĘdnoŚci ruchu:
K
1
1
1
2
m
D
v
⇒
=
v
(*)
1
m
+
m
+
2
m
1
2
NastĘpnie człowiek wyrzuca drugĄ kulĘ (w tĘ samĄ stronĘ), ale trzeba pamiĘtaĆ, Że tym
razem pĘd poczĄtkowy układu (człowiek, jedna kula, łódŹ) nie jest równy zeru, poniewaŻ układ
ten porusza siĘ juŻ na skutek odrzutu powstałego podczas wyrzucania pierwszej kuli.
C
C
C
(
m
+
m
+
m
)
v
=
(
m
+
m
)
v
+
m
1
2
1
1
2
2
K
2
(
m
+
m
+
m
)
v
=
(
m
+
m
)
v
-
mv
1
2
1
1
2
2
K
2
v
=
D
v
-
v
Ale ponownie z wzglĘdnoŚci ruchu:
, zatem:
K
2
2
(
m
+
m
+
m
)
v
=
(
m
+
m
+
m
)
v
-
m
D
v
v
wstawiam lewĄ
i do tego równania zamiast
1
2
1
1
2
2
czĘŚĆ z równania (*):
m
D
v
(
m
+
m
+
m
)
=
(
m
+
m
+
m
)
v
-
m
D
v
; dzielĘ obustronnie przez:
1
2
1
2
2
m
+
m
+
2
m
1
2
i otrzymujĘ:
(
m
+
m
+
m
)
1
2
m
D
v
m
D
v
+
=
v
, czyli
2
m
m
2
m
m
m
m
+
+
+
+
1
2
1
2
2
m
+
2
m
+
3
m
1
2
v
=
m
D
v
=
0
54
2
(
m
+
m
+
m
)(
m
+
m
+
2
m
)
s
1
2
1
2
Przypadek II
: mĘŻczyzna rzuca kule naraz, pomijamy wszelkie opory ruchu.
Podczas wyrzutu kul:
ZZP:
C
C
0
=
(
m
+
m
)
v
+
2
m
(pĘd poczĄtkowy układu jest równy zero), zatem, jeŚli
wybiorĘ oŚ OX o zwrocie zgodnym ze zwrotem prĘdkoŚci łódki po wyrzuceniu pierwszej kuli,
to:
1
2
3
K
3
(
m
+
m
)
v
-
2
mv
=
0
v
=
D
v
-
v
i ponownie z wzglĘdnoŚci ruchu:
, zatem
1
2
3
K
3
K
3
3
2
m
D
v
m
(
m
+
m
+
2
m
)
v
=
2
m
D
v
⇒
=
v
⇒
v
3
=
0
55
.
1
2
3
3
m
+
m
+
2
m
s
1
2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
3
BLOK 7 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
PrzyjĘto model II:
prĘdkoŚĆ wzglĘdna wyrzucanej kuli wzglĘdem łodzi jest prĘdkoŚciĄ
obliczanĄ tuŻ przed wyrzuceniu.
Przypadek I:
mĘŻczyzna rzuca kule po kolei, pomijamy wszelkie opory ruchu.
Podczas wyrzutu pierwszej kuli, druga kula pozostaje wewnĄtrz łodzi.
ZZP:
C
C
0
=
(
m
+
m
+
m
)
v
+
m
(pĘd poczĄtkowy układu jest równy zero), zatem, jeŚli
wybiorĘ oŚ OX o zwrocie zgodnym ze zwrotem prĘdkoŚci łódki po wyrzuceniu pierwszej kuli,
to:
1
2
1
K
(
m
+
m
+
m
)
v
-
mv
=
0
⇒
(
m
+
m
+
m
)
v
=
mv
1
2
1
K
1
2
1
K
m
D
v
v
K
=
D
v
⇒
m
D
v
=
v
(
m
+
m
+
m
)
⇒
=
v
Ale z wzglĘdnoŚci ruchu:
(*)
1
1
2
1
m
+
m
+
m
1
2
NastĘpnie człowiek wyrzuca drugĄ kulĘ (w tĘ samĄ stronĘ), ale trzeba pamiĘtaĆ, Że tym
razem pĘd poczĄtkowy układu (człowiek, jedna kula, łódŹ) nie jest równy zeru, poniewaŻ układ
ten porusza siĘ juŻ na skutek odrzutu powstałego podczas wyrzucania pierwszej kuli.
C
C
C
(
m
+
m
+
m
)
v
=
(
m
+
m
)
v
+
m
1
2
1
1
2
2
K
2
(
m
+
m
+
m
)
v
=
(
m
+
m
)
v
-
mv
1
2
1
1
2
2
K
2
v
=
D
v
-
v
Ale ponownie z wzglĘdnoŚci ruchu:
, zatem:
K
2
1
(
m
+
m
+
m
)
v
=
(
m
+
m
)
v
-
m
D
v
+
mv
m
D
v
i najpierw odejmujĘ obustronnie
, a
1
2
1
1
2
2
1
1
v
wstawiam lewĄ czĘŚĆ z równania (*):
nastĘpnie do tego równania zamiast
m
D
v
i
(
m
+
m
)
=
(
m
+
m
)
v
-
m
D
v
(
m
+
m
)
; dzielĘ obustronnie przez:
1
2
1
2
2
1
2
m
+
m
+
m
1
2
otrzymujĘ:
m
D
v
m
D
v
2
m
+
2
m
+
m
m
1
2
+
=
v
v
=
m
D
v
=
0
57
, czyli
2
2
m
+
m
+
m
m
+
m
(
m
+
m
+
m
)(
m
+
m
)
s
1
2
1
2
1
2
1
2
Przypadek II
: mĘŻczyzna rzuca kule naraz, pomijamy wszelkie opory ruchu.
Podczas wyrzutu kul:
ZZP:
C
C
0
=
(
m
+
m
)
v
+
2
m
(pĘd poczĄtkowy układu jest równy zero), zatem, jeŚli
wybiorĘ oŚ OX o zwrocie zgodnym ze zwrotem prĘdkoŚci łódki po wyrzuceniu pierwszej kuli,
to:
1
2
3
K
3
(
m
+
m
)
v
-
2
mv
=
0
v
=
D
v
i ponownie z wzglĘdnoŚci ruchu:
, zatem
1
2
3
K
3
K
3
2
m
D
v
m
(
m
+
m
)
v
=
2
m
D
v
⇒
=
v
⇒
v
3
=
0
59
.
1
2
3
3
m
+
m
s
1
2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
4
BLOK 7 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
[ Pobierz całość w formacie PDF ]