[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Blok 9:
Moment bezwładnoŚci. Moment siły.
Zasada zachowania momentu pĘdu
Odpowiedzi do zestawu zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania:
C
C
C
M
=
r
´
F
1.
Moment siły:
. PoniewaŻ na bryłĘ działajĄ dwie siły, to całkowity moment siły
działajĄcy na tĘ bryłĘ wynosi
C
C
C
M
=
M
+
M
, gdzie moment
1
2
C
:
C
C
C
C
:
C
C
C
M
=
r
´
F
M
=
r
´
F
siły
, a moment siły
. Na
1
1
1
2
2
2
r
C
.
PamiĘtaj!
RamiĘ siły
C
to wektor prostopadły do osi obrotu,
którego poczĄtek leŻy na tej osi, a koniec znajduje siĘ w
punkcie przyłoŻenia siły
C
. Moment siły jest zatem obliczany
zawsze wzglĘdem jakiejŚ osi.
1
r
,
rysunku zaznaczone zostały ramiona sił – wektory
2
C
sĄ
skierowane prostopadle do płaszczyzny rysunku (poniewaŻ wektor bĘdĄcy iloczynem
wektorowym dwóch innych wektorów jest zawsze prostopadły do płaszczyzny tworzonej przez
te wektory). Moment
C
Z definicji iloczynu wektorowego oba momenty
i
1
2
C
C
jest zwrócony przed rysunek, a moment
jest zwrócony za
1
2
rysunek.
Obierzmy oŚ OY prostopadłĄ do płaszczyzny rysunku i zwróconĄ przed ten rysunek. Wówczas
igrekowa
współrzĘdna wypadkowego momentu sił jest równa:
M
=
M
-
M
, gdzie
y
1
2
C
C
C
C
M
=
r
F
sin
Ð
(
r
,
F
)
=
r
F
M
=
r
F
sin
Ð
(
r
,
F
)
=
r
F
, a
. Z danych pochodzĄcych z
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
r
=
L
2
2
1
rysunku w treŚci zadania:
, a
r
=
L
-
L
. Ostatecznie:
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
F
=
F
M
=
F
(L
-
L
-
L
)
M
=
F
L
-
F
L
-
L
. A poniewaŻ
, to
y
1
1
2
1
2
y
1
1
C
C
D
L
2.
Z uogólnionej formy II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy, Że
M
=
, dlatego
D
t
C
C
, to
C
zmienia siĘ liniowo w czasie (wzrasta lub maleje).
jeŚli
M
¹
0
i
M
=
const
Odp.:
D
3.
Moment bezwładnoŚci cienkoŚciennej rurki wzglĘdem osi, która nie jest jej osiĄ
symetrii moŻemy obliczyĆ z tw. Steinera. W takim przypadku musimy znaleŹĆ
takĄ oŚ, która jednoczeŚnie jest osiĄ symetrii rurki (O) i jest równoległa do osi
(A) okreŚlonej w zadaniu.
Moment bezwładnoŚci wzglĘdem osi A:
2
, gdzie
M
- masa rurki,
natomiast
a
- odległoŚĆ miĘdzy osiami A i O (w naszym przypadku odległoŚĆ
ta jest równa promieniowi rurki,
R
). Moment bezwładnoŚci cienkoŚciennej
rurki wzglĘdem jej osi symetrii moŻna znaleŹĆ w tablicach:
I
=
I
+
Ma
A
O
2
I
=
MR
O
Ostatecznie:
2
2
2
I
=
MR
+
MR
=
2
MR
.
A
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
1
BLOK 9 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
4.
PoniewaŻ moment sił zewnĘtrznych działajĄcych na układ jest równy zeru, to moŻemy
skorzystaĆ z zasady zachowania momentu pĘdu:
C
C
L
=
L
, czyli
moment pĘdu układu nie
p
k
ulega zmianie
.
2
I
×
w
E
=
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym dana jest wzorem:
, a moment pĘdu:
K
2
2
L
L
=
I
×
w
E
=
, skĄd moŻemy wyprowadziĆ wzór:
.
K
2
×
I
Iloraz koŃcowej i poczĄtkowej energii kinetycznej ruchu obrotowego tego układu jest równy:
2
L
I
E
2
×
I
p
Kk
k
=
=
(poniewaŻ moment pĘdu układu na koŃcu jest taki sam, jak moment pĘdu
2
E
I
L
Kp
k
2
×
I
p
, gdzie
I
jest
poczĄtkowym momentem bezwładnoŚci układu: człowiek-krzesło obrotowe, a
I
- jest
koŃcowym bezwładnoŚci pĘdu tego układu. W trakcie opuszczania rĄk przez człowieka maleje
moment bezwładnoŚci całego układu,
L
=
L
L
= I
×
w
I
×
w
=
I
×
w
układu na poczĄtku,
. PoniewaŻ
, to
p
k
p
p
k
k
I
>
I
, poniewaŻ człowiek przybliŻa swoje rĘce (czĘŚĆ
p
k
masy układu) do osi obrotu.
StĄd wnioskujemy, Że
E
>
E
, czyli energia kinetyczna układu wzrasta.
Kk
Kp
Odp.:
D
2
p
T
=
5.
Okres obrotu bryły wokół stałej osi:
, a wartoŚĆ prĘdkoŚci kĄtowej
w
moŻna obliczyĆ z
w
L
wartoŚci momentu pĘdu
L
:
L
=
I
×
w
⇒
w
=
.
I
2
p
2
p
×
I
T
=
=
Zatem okres:
w
L
Odp.:
C
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
2
BLOK 9 odpowiedzi do zadaŃ do samodzielnego rozwiĄzania
[ Pobierz całość w formacie PDF ]