[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WitoldBołt
napodstawiewykładu
dr.hab.AndrzejaSzczepa«skiego,prof.UG
Geometria ró»niczkowa
15czerwca2007
Uwaga!
Je±li zauwa»ysz jakie± bł¦dy to pisz: Witold Bołt
.
Aktualn¡ wersj¦ tego dokumentu mo»na zawsze znale¹¢ w Internecie na stronie
domowej autora:
Dzi¦kuj¦ wszystkim, którzy swoj¡ cierpliwo±ci¡ i jak¡kolwiek pomoc¡ przyczynili
si¦ do powstania tego tekstu.
Witold Bołt
Spis tre±ci
1 Teoria krzywych
5
1.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Podstawowe własno±ci, wzory Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Krzywe w przestrzeniR
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Teoria powierzchni 13
2.1 Rozmaito±ci ró»niczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Podstawowe poj¦cia, metryka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Równania ró»niczkowe geodezyjnych . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Krywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Druga forma kwadratowa i przekroje normalne . . . . . . . . 18
2.4.3 Lokalny układ współrz¦dnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Twierdzenie Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Twierdzenie Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Płaszczyzna hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Współrz¦dne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.3 Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . 35
Bibliografia
39
3
1.3 Wzory Freneta wR
Rozdział 1
Teoria krzywych
Oznaczenia.
Liter¡
I
b¦dziemy oznacza¢ przedziały (zazwyczaj domkni¦te) [
a,b
]
wR. Niech dana b¦dzie funkcja ró»niczkowalna
f
:
I
!
R
n
, oraz niech
t
0
2
I
. Po-
chodn¡
f
w punkcie
t
0
oznaczamy
f
0
(
t
0
) i rozumiemy jako wektor: lim
h
!
0
f
(
t
0
+
h
)
−
f
(
t
0
)
h
.
1.1 Podstawowe definicje
Definicja 1.1.1
(krzywa i parametryzacja krzywej)
.
Krzyw¡
w przestrzeniR
n
nazywamy dowolny ci¡gły obraz odcinka
I
= [
a,b
].
Funkcj¦ ci¡gł¡
c
:
I
!
R
n
nazywamy parametryzacj¡ krzywej
, o ile
=
c
(
I
).
W dalszej cz¦±ci tego opracowania b¦dziemy uto»samia¢ (tam gdzie to mo»liwe)
krzyw¡ i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy b¦dziemy mówi¢ krzywa). Krzywe
oznacza¢ b¦dziemy literami
c
lub
.
B¦dziemy zakłada¢ (je±li nie napisano inaczej), »e rozwa»ane przez nas krzywe
s¡ klasy
C
m
dla pewnego
m >
0.
Definicja 1.1.2
(krzywa regularna)
.
Mówimy, »e krzywa
jest regularna (ma opis
regularny), gdy:
8
t
2
I
0
(
t
)
6
= 0
.
Przykład 1.1.3.
Niech dane b¦d¡ krzywe, zadane przez parametryzacje:
1
(
t
) =
(cos
t,
sin
t
),
t
2
[0
,
2
];
2
(
t
) = (cos
−
2
t,
sin
−
2
t
),
t
2
[0
,
]. Obie parametryzacje
opisuj¡ t¡ sam¡ krzyw¡. Z drugiej strony, zauwa»my, »e
1
(0) =
2
(0) = (1
,
0), oraz
0
1
(0) = (0
,
1),
0
2
(0) = (0
,
−
2). Pochodne wyznaczaj¡ tutaj wektory styczne. W obu
przypadkach s¡ one równoległe, jednak ró»ni¡ si¦, zale»nie od parametryzacji.
Definicja 1.1.4
(długo±¢ krzywej)
.
Niech
: [
,
]
!
R
n
b¦dzie krzyw¡. Długo±¢
krzywej
oznaczamy przez
L
(
) i definiujemy:
L
(
) =
Z
|
0
(
t
)
|
dt
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]