[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ROWNANIA ROZNICZKOWE ZWYCZAJNE
WYKLAD DLA STUDENTOW NA KIERUNKU AUTOMATYKA I ROBOTYKA - WERSJA ROBOCZA (4 LIPIEC 2003)
BOGUSLAW BOZEK
1
1
AGH KRAKOW, WYDZIAL MATEMATYKI STOSOWANEJ
2
SPIS TRESCI
1 WPROWADZENIE
5
2 ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ
9
3 TWIERDZENIA O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOSCI
11
4 PROSTE TYPY ROWNAN ROZNICZKOWYCH SKALARNYCH 13
4.1 ROWNANIE ROZNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 ROWNANIE JEDNORODNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 ROWNANIE ROZNICZKOWE ZUPELNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.1 CZYNNIK CALKUJ ACY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 ROWNANIE CLAIRAUTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 LINIOWE ROWNANIA ROZNICZKOWE 19
5.1 ROWNANIA I UKLADY ROWNAN ROZNICZKOWYCH LINIOWYCH . . . . . . . . . . . . 19
5.2 SKALARNE ROWNANIE LINIOWE RZ EDU PIERWSZEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 ROWNANIE BERNOULLIEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.4 ROWNANIE RICCATIEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 ROWNANIE LAGRANGE'A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.6 SKALARNE ROWNANIE ROZNICZKOWE LINIOWE
N-TEGO RZEDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.7 OBNIZANIE RZEDU ROWNANIA LINIOWEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7.1 WZOR LIOUVILLE'A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7.2 ROWNANIA WYZSZYCH RZEDOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.8 NIEJEDNORODNE ROWNANIE ROZNICZKOWE LINIOWE
N-TEGO RZEDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.9 ROWNANIE LINIOWE N-TEGO RZEDU O STALYCH WSPOLCZYNNIKACH . . . . . . . . . 27
5.10 METODA PRZEWIDYWAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.11 UKLAD SKALARNYCH ROWNAN ROZNICZKOWYCH LINIOWYCH RZ EDU PIERWSZEGO . . . 29
5.12 UKLADY ROWNAN LINIOWYCH O STALYCH
WSPOLCZYNNIKACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.12.1 METODA WARTOSCI I WEKTOROW WLASNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.12.2 SPROWADZANIE MACIERZY UKLADU DO POSTACI JORDANA . . . . . . . . . 33
5.13 ROWNANIE RUCHU HARMONICZNEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 ROZWI AZANIA W POSTACI SZEREGOW FUNKCYJNYCH 37
6.1 ROZWI AZANIA W POSTACI SZEREGOW POT EGOWYCH . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 ROWNANIA ROZNICZKOWE LINIOWE RZ EDU DRUGIEGO . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
4
SPIS TRESCI
7 STABILNOSC ROZWI AZAN ROWNAN ROZNICZKOWYCH 41
7.1 PODSTAWOWE DE¯NICJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 TWIERDZENIE LAPUNOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 PROBLEM ROUTHA{HURWITZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4 PUNKTY OSOBLIWE ROWNANIA ROZNICZKOWEGO ZUPELNEGO . . . . . . . . . . . . 45
8 TRANSFORMATA LAPLACE'A 47
8.1 PODSTAWOWE DE¯NICJE I TWIERDZENIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 WYZNACZANIE TRANSFORMATY ROWNANIA ROZNICZKOWEGO . . . . . . . . . . . . . 48
8.3 WYZNACZANIE FUNKCJI NA PODSTAWIE JEJ TRANSFORMATY . . . . . . . . . . . . . 49
9 DODATEK 53
9.1 TABLICE TRANSFORMAT LAPLACE'A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 PRZYKLADOWE TEMATY ZADAN EGZAMINACYJNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ROZDZIAL 1
WPROWADZENIE
ROWNANIEM ROZNICZKOWYM NAZYWAMY ZWI AZEK MIEDZY PEWN A NIEZNAN A FUNKCJ A, A
JEJ POCHODNYMI; GDY FUNKCJA NIEWIADOMA JEST FUNKCJ A JEDNEJ ZMIENNEJ, TO MOWIMY O
ROWNANIU ROZNICZKOWYM ZWYCZAJNYM, W PRZECIWNYM WYPADKU O ROWNANIU ROZNICZKOWYM
CZ ASTKOWYM. ZWI AZEK POSTACI
F(T;X(T);X
0
(T);:::;X
(N)
(T)) = 0
NAZYWAMY ROWNANIEM ROZNICZKOWYM ZWYCZAJNYM N-TEGO RZ EDU, JESLI LEWA STRONA ISTOTNIE
ZALEZY OD X
(N)
. NIE MUSI OBA ZALEZEC OD X I T. PRZYKLADOWO ROWNANIE
X
000
+ T(X
0
)
30
¡E
X SIN T
= 0
JEST ROWNANIEM ROZNICZKOWYM RZ EDU TRZECIEGO. FUNKCJA X MOZE BYC FUNKCJ A SKALARN A,
ALBO WEKTOROW A.
ROWNANIA ROZNICZKOWE W ZAGADNIENIACH TECHNICZNYCH POWSTAJ A NA OGOL W WYNIKU
STOSOWANIA NASTEPUJ ACYCH METOD POSTEPOWANIA:
A) PRZEDSTAWIANIA PRAW ¯ZYKI W POSTACI MATEMATYCZNO-ANALITYCZNEJ.
B) PRZEDSTAWIANIA ZWI AZKOW GEOMETRYCZNYCH W POSTACI ANALITYCZNEJ.
C) RUGOWANIA PARAMETROW Z N-PARAMETROWEJ RODZINY FUNKCJI I N ROWNOSCI.
AD A) NIECH V :
R £ R
3
¾ [T
0
;T] £ R
3
3 (T;X) ! V(T;X) 2 R
3
BEDZIE ZADANYM
= V(T;X) OPISUJE RUCHY CZ ASTEK UNOSZONYCH W POLU V. JESLI
DODATKOWO PRZYJ AC WARUNEK X(T
0
) = X
0
, TO X(T) JEST POLOZENIEM W CHWILI T TEJ CZ ASTKI,
KTORA W CHWILI T
0
ZNAJDOWALA SIE W PUNKCIE X
0
.
AD B) NIECH Y = F(X). WIELKOSC
0
¡
1 + (Y
0
)
2
¢
3
2
½(A) =
(A)
JY
00
J
NAZYWAMY PROMIENIE KRZYWIZNY, A JEJ ODWROTNOSC
1
½
(A) KRZYWIZN A W PUNKCIE A. ROWNANIE
ROZNICZKOWE
JY
00
J
(1 + (Y
0
)
2
)
2
= A
R 3 A ¸ 0
JEST ZADEM ROWNANIEM ROZNICZKOWYM, KTOREGO ROZWI AZANIEM S A KRZYWE O STALEJ KRZYWIZNIE
ROWNEJ A.
AD C) ROZWAZMY RODZINE OKREGOW
(X¡A)
2
+ (Y ¡B)
2
= R
2
;
(1.1)
5
POLEM PREDKOSCI. ROWNANIE X
[ Pobierz całość w formacie PDF ]